Как рассчитать арку?

Расчет металлической арки

Рисунок 290.3. Принятая расчетная схема арочной фермы.

то на подобный расчет уйдет минимум времени, если принять стрелу арки равной f = 1.3 м и если для дополнительного упрощения расчета и для обеспечения еще большей прочности арки, рассматривать снеговую нагрузку, как равномерно распределенную по всей длине арки. А еще нагрузку от сотового поликарбоната и балок обрешетки также можно условно рассматривать как равномерно распределенную.

Сосредоточенная нагрузка от собственного веса фермы, сотового поликарбоната и балок обрешетки у нас составляла Q = 19.72 кг (кроме крайних узлов, где нагрузка в 2 раза меньше). При пролете арки 6 м и 13 приложенных сосредоточенных нагрузок примем для расчета значение равномерно распределенной нагрузки от общего веса конструкции настила

qк = 19.72·6·1·1.2/12 = 11.8 кг/м

где 1 — коэффициент перехода от сосредоточенной к распределенной нагрузке, в данном случае учитывающий не только количество балок обрешетки, но и разную длину пролетов в горизонтальной проекции арки. 1.2 — коэффициент запаса по прочности.

Максимальная снеговая нагрузка у нас составляла 189 кг/м. Тогда при суммарной расчетной нагрузке q = 200.8 кг/м и выбранной расчетной схеме для трехшарнирной арки, основные расчетные значения реакций и нагрузок будут следующими

1. Вертикальные опорные реакции

Так как нагрузка на нашу симметричную арку является равномерно распределенной, то

VA = VB = ql/2 = 200.8·6/2 = 602.4 кгс (149.1)

2. Горизонтальные опорные реакции

Так как на арку действует только вертикальная нагрузка (ветровую нагрузку по ряду причин мы не учитываем), то горизонтальные опорные реакции будут равны по значению и противоположно направлены, а для определения одной из горизонтальных реакций достаточно составить уравнение моментов относительно дополнительно принятого нами шарнира — замка арки:

∑МС = VAl/2 — ql2/8 — HAf = 0 (294.1)

тогда

HA = (VAl/2 — ql2/8)/f = (602.4·6/2 — 200.8·62/8)/1.3 = 695.1 кгс (294.2)

где f — стрела арки, равная 1.3 м.

3. Определение действующих напряжений в поперечных сечениях

Теперь следует определить максимальные внутренние напряжения в поперечных сечениях арочной балки. Для этого обычно строятся эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и продольных усилий. Однако в данном случае проще определить указанные значения для трех характерных сечений — в начале арки, посредине — где замок и, например, в точке, расположенной посредине между началом арки и замком. Потому что, максимальная поперечная сила будет действовать в начале и конце арки, максимальная продольная сила — в замке арки, а максимальный момент в середине пролетов между шарнирами.

В точке А:

Q = VAcos(a/2) + HAsin(a/2) = 602.4·0.6838 + 695.1·0.7296 = 919.1 кгс

M = 0

N = VAsin(a/2) + HA cos(a/2) = 602.4·0.7296 + 695.1·0.6838 = 914.82 кгс

В точке С (замок арки):

Q = VA — ql/2 = 0

М =0 (так как относительно этой точки мы и составляли уравнение моментов в при определении горизонтальной составляющей опорной реакции)

N = HA = 695.1 кгс

В точке D (середина между началом и замком арки):

Для этой точки следует знать координаты по осям х и у. И если с определением координаты по оси х больших проблем нет, так как х = l/4 = 6/4 = 1.5 м, то для определения координаты у нужно сначала определить стрелу арки с пролетом 3 м и тем же радиусом R = 4.115 м. Проще всего определить это значение графически:

Рисунок 294.1. Графическое определение стрелы арки с пролетом 3 м.

Тогда значение координаты у для точки D составит у = 1.3 — 0.3 = 1 м. А приблизительное значение угла наклона касательной к горизонтали составит β = arctg(0.6/1.5) = 21.8о.

Примечание: для более точного определения стрелы арки с пролетом 3 м нужно решить тригонометрическое уравнение (290.1.1), однако с учетом того, что мы приняли значение расчетной нагрузки с хорошим запасом, то в этом нет необходимости.

Q = VAcosβ + HAsinβ — qcosβх = 602.4·0.9284 + 695.1·0.3713 — 200.8·1.5·0.9284 = 537.7 кгс

М =VAx — HAy — qx2/2 = 602.4·1.5 — 695.1·1 — 200.8·1.52/2 = — 17.4 кгс·м = — 1740 кг·см

N = VAsinβ + HA cosβ — qsinβх = 602.4·0.3717 + 695.1·0.9284 — 200.8·1.5·0.2535 = 792.9 кгс

Как видим, значение изгибающего момента в точке D достаточно мало (в данном случае знак «-» означает, что растягивающие напряжения при действии изгибающего момента будут действовать в верхней части сечения арки), а максимальные внутренние напряжения будут возникать в начале и в конце арочной балки (в точках А и В).

4. Подбор сечения профильной трубы

В рассматриваемом нами поперечном сечении действует поперечная и продольная сила, а значит, возникают касательные и нормальные напряжения. Напомню, на сегодняшний день существует как минимум 5 теорий прочности и формулы, предлагаемые этими теориями для таких случаев несколько отличаются. Но мы пойдем как всегда по пути наибольшего запаса прочности и произведем расчет по третьей теории прочности согласно которой:

σпр = (σ2 +4т2)0.5 ≤ R = 2350 кгс/см2 (278.4), (278.5)

где σ — нормальное напряжение

σ = N/F

где F — площадь поперечного сечения профильной трубы

т — касательное напряжение

т = QSотс/bI

где Sотс = ∑уiFi — статический момент отсекаемой на рассчитываемой высоте части сечения, I — момент инерции сечения, b — ширина сечения на рассчитываемой высоте сечения.

Как видим, в уравнении (278.4) слишком много неизвестных и для решения такого уравнения проще использовать метод аппроксимации, проще говоря, подобрать требуемое сечение, исходя из имеющихся данных сортамента. Например, при расчете балок обрешетки для сотового поликарбоната мы подобрали квадратную профильную трубу сечением 30х30х3.5 мм. Для такой трубы площадь поперечного сечения F = 3.5 см2, момент сопротивления W = 2.65 см3, момент инерции I = 3.98 см4. Так как максимальные касательные напряжения будут на высоте, равной половине высоты сечения, то для такой трубы статический момент полусечения будет равен приблизительно

Sотс = 3·0.35(1.5 — 0.35/2) + 2(1.5 — 0.35)0.35(1.5 — 0.35)/2 = 1.854 см3

Тогда для сечения в точке А

σпр = ((914.82/3.5)2 + 4(919.1·1.854/((0.35 + 0.35)3.98)2)0.5 = 1250.96 < 2350 кг/см2

Для сечения в точке D

проверки на прочность не достаточно, арочную балку в этом сечении следует дополнительно проверить на устойчивость.

При радиусе инерции, равном i = 1.066 см, значение коэффициента гибкости составит

λ = μl/i = 0.6·673/1.066 = 379

Почему для трехшарнирной арки μ =0.6 и как определяется геометрическая длина арки, рассказывается отдельно. Такое значение коэффициента гибкости показывает, что арка, изготовленная из предварительно принятой нами трубы 30х30х3.5 мм, будет очень неустойчивой и для обеспечения устойчивости следует принять профиль большего сечения. Например, при использовании квадратной профильной трубы сечением 50х50х2 мм, имеющей площадь поперечного сечения F = 3.74 см2 (т.е. ненамного больше, чем площадь сечения профильной трубы 30х30х3.5 мм), момент сопротивления W = 5.66 см3, момент инерции I = 14.14 см4, радиус инерции i = 1.95 см, значение коэффициента гибкости составит 403.8/1.95 = 207

тогда по таблице 2 коэффициент изгиба φ = 0.16 (для стали С235 прочностью Ry = 2350 кгс/см2, определяется интерполяцией значений 2050 и 2450, а также интерполяцией значений 200 и 210)

Максимальные нормальные напряжения будут возникать в самом верху и самом низу поперечного сечения, т.е. в таких местах, где касательные напряжения стремятся к нулю, тогда

σпр = 792.9/(0.16·3.74) + 1740/5.66 = 1325.03 +307.42 = 1632.5 < 2350 кгс/см2

На высоте, равной половине высоты сечения, касательные напряжения будут максимальными, а вот значение изгибающего момента стремится к нулю и тогда при

Sотс = 5·0.2(2.5 — 0.2/2) + 2(2.5 — 0.2)0.2(2.5 — 0.2)/2 = 3.458 см3

σпр = (1325.032 + 4(537.7·3.458/(0.4·14.14))2)0.5 = 1479.2 < 2350 кг/см2

Как видим, выбранного сечения 50х50х2 мм вполне хватает для обеспечения прочности и устойчивости и даже с большим запасом. Вот только значение гибкости λ = 207 является слишком большим для любого несущего элемента строительных конструкций. И хотя в СНиП II-23-81*(1990) «Стальные конструкции» предельно допустимая гибкость для стальных арок не указывается, но исходя из общих принципов, не должна превышать 150.

Таким образом, если рассматривать значение гибкости как определяющий фактор, то сечение трубы нужно увеличивать. А если не обращать внимания на значение гибкости, то сечение трубы можно даже уменьшить. Как именно вы поступите, решать вам. На мой взгляд, лучше оставить такое сечение или даже увеличить его из технологических соображений, например, приняв трубу сечением 50х50х3 мм, так как сваривать такие трубы легче. А еще после сгибания трубы в поперечных сечениях будут действовать остаточные напряжения сжатия и растяжения. Впрочем тут все будет сильно зависеть от технологии изгибания трубы. Самый надежный способ, остаточные напряжения после которого минимальны — гнуть трубу после нагревания участков трубы до температуры размягчения стали (около 500-600о).

И еще одна маленькая, но очень важная деталь. Как мы уже определили, в местах крепления арки к ригелям и в конечном счете к колоннам будут действовать силы, направленные горизонтально, а именно горизонтальные опорные реакции. Эти силы будут создавать довольно значительный изгибающий момент, действующий на колонны. Т.е. для расчетного поперечного сечения колонны длиной около 3 м, представляющей собой консольную балку, значение изгибающего момента составит М = 914.82·300 = 274446 кг·см. Это очень большой для нашей конструкции момент и если даже на колонну не будет действовать больше никаких нагрузок, то момент сопротивления сечения колонны должен быть не менее W = 274446/2350 = 116.8 cм3. Т.е. потребуются трубы сечением минимум 140х140х5.5 мм.

Чтобы не перекладывать эту нагрузку на колонны, достаточно сделать арку с затяжкой, т.е. с дополнительным стержнем между точками А и В, воспринимающим горизонтальную нагрузку. Такой стержень будет работать на растяжение, а потому сечение его подбирается, исходя из требований по гибкости для растянутых элементов.

Так, согласно таблицы 476.1 предельно допустимая гибкость для затяжки составляет λmax = 400. Так как отдельно затяжка в указанной таблице не упоминается, то можно рассматривать ее как «Прочие элементы связей» (п.5). Впрочем, если рассматривать всю конструкцию в комплексе (арки, затяжки обрешетка, колонны), то ее можно отнести и к структурной, т.е. многократно статически неопределимой, при соответствующем решении узлов сопряжения элементов. Тогда затяжку следует рассматривать согласно п.2 и с учетом возможных динамических нагрузок (например, временных нагрузок при монтаже) λmax = 350. Это значение мы и будем использовать для дальнейших расчетов.

При расчетной длине затяжки l = 600 см минимально допустимое значение радиуса инерции составит:

i = l/λ = 600/350 = 1.71 см.

Это означает, что сечение затяжки в данном случае можно подбирать, исходя из технологических и эстетических соображений, например, сделать затяжку такого же сечения, как и саму арку.

Если арка будет изготавливаться из цельного профиля, то такую арку более правильно рассматривать как двухшарнирную, т.е. 1 раз статически неопределимую. Это означает, что значение горизонтальной опорной реакции, которое мы так легко определили при наличии третьего шарнира, в данном случае будет неизвестной величиной. Определить теоретически это значение будет достаточно сложно, учитывая непрямолинейную геометрию арки. Поэтому проще воспользоваться эмпирическими формулами, в частности предлагаемыми «Справочником проектировщика» под ред. А.А. Уманского. Подробности расчета здесь не приводятся, в частности потому, что при нашей геометрии арки изменение горизонтальной опорной реакции будет очень незначительным. Так при выполнении и арки и затяжки из трубы одного профиля значение горизонтальной опорной реакции составит 0.99923 от горизонтальной реакции, определенной для трехшарнирной арки, соответственно момент в ключе арке составит

Мс = fql2(1 — 0.99923)/8f = 200.8·62·0.000077/8 = 0.6955 кг·м или 69.5 кг·см

на что с учетом принятого нами запаса по прочности можно не обращать внимания.

Примечание: ql2/8f — это значение горизонтальной опорной реакции трехшарнирной арки согласно п.2. Соответственно для определения момента в точке С мы умножаем разницу значений горизонтальной опорной реакции для 3 и 2 шарнирной арки на плечо действия силы f.

Если хочется сделать арку с длиной по горизонтали 6.5 м и с расстоянием между опорами 6 м, соответствующую верхнему поясу арочной фермы, то такую арку можно рассчитывать, как бесконсольную, т.е. с длиной по горизонтали 6 м, потому как никакой особенной нагрузки на консоли не будет. Снег на поверхностях с уклоном ≥ 50о не задерживается.

При расчетах двухшарнирной арки на устойчивость значение μ будет еще меньше, чем для трехшарнирной, поэтому дополнительного перерасчета не требуется. Для обеспечения устойчивости из плоскости арки одних только балок обрешетки и покрытия из поликарбоната будет недостаточно, необходимо предусмотреть соответствующие диафрагмы жесткости.

P.S. Я прекрасно понимаю, что человеку, впервые столкнувшемуся с расчетом строительных конструкций, разобраться в тонкостях и особенностях вышеизложенного материала бывает не просто, но тратить тысячи или даже десятки тысяч рублей на услуги проектной организации вы все равно не хотите. Что ж, я готов помочь. Больше подробностей смотрите в статье «Записаться на прием к доктору».

Источник: http://DoctorLom.com/item294.html

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *